La Revolución Industrial marcó un cambio significativo en el tamaño y la complejidad de las organizaciones, transformando pequeños talleres en grandes corporaciones, dicho crecimiento llevó un aumento en la división del trabajo y la separación de responsabilidades administrativas, generando beneficios pero también desafíos.
Uno de estos problemas es la tendencia de algunos componentes de la organización a volverse autónomos, alejándose de los objetivos globales y generando conflictos de intereses.
La complejidad y especialización dificultan la asignación eficiente de recursos, lo que dio lugar al surgimiento de la investigación de operaciones para abordar estos desafíos.
La investigación de operaciones (IO) tiene sus raíces en los intentos tempranos de aplicar el método científico a la gestión empresarial, pero su desarrollo como disciplina se atribuye en gran medida a la necesidad militar durante la Segunda Guerra Mundial.
Ante la urgencia de asignar recursos de manera eficaz en el contexto bélico, los servicios militares estadounidense y británico convocaron a científicos para aplicar métodos científicos a problemas estratégicos y tácticos, dando origen a los primeros equipos de IO.
Estos científicos contribuyeron significativamente al éxito en la guerra aérea y en la campaña del Atlántico Norte mediante el desarrollo de métodos para el uso eficiente del radar y la mejora de las operaciones antisubmarinas y de protección. Sus esfuerzos también fueron clave en la campaña del Pacífico.
La investigación de operaciones (IO) es una disciplina centrada en investigar y resolver problemas relacionados con la gestión y coordinación de actividades en diversas organizaciones, independientemente de su naturaleza.
Se aplica en áreas tan variadas como manufactura, transporte, construcción, telecomunicaciones, planificación financiera, salud, fuerzas armadas y servicios públicos.
La IO utiliza un enfoque similar al método científico, comenzando con la observación cuidadosa y la formulación del problema, seguida por la construcción de un modelo matemático que abstracta la esencia del problema real.
La IO no solo implica investigación científica, sino también la administración práctica de la organización, proporcionando conclusiones claras para los tomadores de decisiones, adopta una perspectiva organizacional para resolver conflictos de intereses entre los componentes de la organización y busca soluciones óptimas para los problemas en cuestión.
Dada la naturaleza multidisciplinaria de los problemas abordados, se requiere un enfoque de equipo con expertos en diversas áreas como matemáticas, estadística, economía, administración de empresas, ciencias de la computación, ingeniería y ciencias del comportamiento, entre otros.
El enfoque de sistemas en la investigación de operaciones (IO) es una perspectiva que reconoce a las organizaciones y los sistemas complejos como entidades interconectadas y en constante interacción con su entorno. Este enfoque busca comprender y optimizar el funcionamiento de sistemas completos, en lugar de tratar cada componente de forma aislada.
Algunos aspectos clave del enfoque de sistemas en IO incluyen:
•Interdependencia de los componentes: Reconoce que los diferentes componentes de un sistema están interconectados y que los cambios en uno pueden tener efectos en otros.
•Optimización global: Se centra en la optimización del sistema en su conjunto, en lugar de optimizar partes individuales, reconociendo que lo que es óptimo para una parte puede no serlo para el sistema en su conjunto.
•Análisis de retroalimentación: Considera las retroalimentaciones y los efectos de retroalimentación dentro del sistema, reconociendo que las acciones pueden tener efectos indirectos que deben ser tenidos en cuenta.
•Consideración del entorno: Reconoce que los sistemas existen dentro de un entorno más amplio y que este entorno puede influir en el sistema y ser influenciado por él.
•Enfoque holístico: Busca comprender el sistema en su totalidad, teniendo en cuenta todos sus componentes y sus interacciones, en lugar de centrarse en partes aisladas.
El enfoque de sistemas en IO se utiliza para abordar problemas complejos en una variedad de áreas, como la planificación de la producción, la gestión de la cadena de suministro, la logística, la asignación de recursos y la toma de decisiones estratégicas. Ayuda a los analistas a comprender mejor la dinámica de los sistemas y a desarrollar soluciones más efectivas y sostenibles.
El enfoque de modelos en la investigación de operaciones (IO) implica el uso sistemático de modelos matemáticos y analíticos para entender, analizar y resolver problemas relacionados con la toma de decisiones en organizaciones. Este enfoque se basa en la construcción de modelos que representen fielmente la estructura y el comportamiento de los sistemas en estudio, con el fin de proporcionar insights y soluciones óptimas.
Aquí hay algunos aspectos clave del enfoque de modelos en IO:
•Abstracción del problema: Se busca identificar las características esenciales del problema y representarlas de manera simplificada en un modelo matemático o analítico.
•Formulación del modelo: Se traduce el problema real en términos matemáticos, definiendo variables, restricciones y objetivos que caracterizan la situación.
•Resolución del modelo: Se utilizan técnicas y métodos de optimización, simulación, programación lineal, teoría de colas u otras herramientas analíticas para encontrar soluciones óptimas o aproximadas al problema.
•Validación del modelo: Se verifica si el modelo captura adecuadamente el comportamiento del sistema real, comparando los resultados obtenidos con datos reales o a través de pruebas y simulaciones.
•Interpretación de resultados: Se analizan los resultados del modelo para extraer conclusiones y recomendaciones que puedan ayudar en la toma de decisiones.
El enfoque de modelos en IO se aplica en una amplia gama de contextos y áreas, incluyendo la planificación de la producción, la gestión de inventarios, la programación de rutas y horarios, la asignación de recursos, la planificación financiera, entre otros. Ayuda a los gerentes y tomadores de decisiones a entender mejor los problemas complejos y a tomar decisiones informadas y eficientes basadas en evidencia analítica.
La investigación de operaciones (IO) es un campo que utiliza métodos matemáticos y técnicas cuantitativas para analizar y resolver problemas complejos en diversas áreas, las fases usuales de un estudio típico de IO son:
•Definición del problema de interés y recolección de datos relevantes: Esta etapa inicial implica identificar el problema que se va a estudiar y reunir toda la información necesaria para comprenderlo.
•Formulación de un modelo matemático que represente el problema: Una vez definido el problema y recolectados los datos, se desarrolla un modelo matemático que simule el problema real. Este modelo sirve como una representación simplificada y abstracta del problema.
•Desarrollo de un procedimiento basado en computadora para derivar una solución para el problema a partir del modelo: En esta fase, se crea un algoritmo o programa computacional que pueda utilizar el modelo matemático para encontrar soluciones al problema.
•Prueba del modelo y mejoramiento de acuerdo con las necesidades: Después de desarrollar el modelo y el procedimiento computacional, es esencial probar su eficacia. Esta etapa incluye la verificación y validación del modelo, así como ajustes y mejoras.
•Preparación para la aplicación del modelo prescrito por la administración: Aquí se realizan los preparativos necesarios para que el modelo desarrollado pueda ser utilizado por la administración o las partes interesadas relevantes. Esto puede incluir la capacitación del personal y la creación de manuales o guías de uso.
•Implementación: Finalmente, el modelo se implementa en la práctica para resolver el problema original. Esta fase puede incluir monitoreo y ajustes adicionales para asegurar que el modelo funcione correctamente en situaciones reales.
En general los distintos modelos utilizados en la metodología de operaciones sigue la siguiente serie de pasos:
•Definición del Problema: El primer paso es la identificación clara del problema incluyendo lo que está dentro y fuera del alcance del estudio.
•Formulación del Modelo: Se interpreta el problema real a un modelo matemático que lo represente adecuadamente y según el problema, el modelo será lineal, no lineal, determinístico, estocástico, dinámico, etc.
•Recopilación y Análisis de Datos: Se recopilan todos los datos necesarios para alimentar el modelo asegurándose que sean precisos y confiables.
•Solución del Modelo: Se aplican técnicas y algoritmos para resolver el modelo matemático incluyendo métodos exactos (como programación lineal, programación dinámica, o métodos heurísticos y metaheurísticos) y al final de esta etapa se evalúan las soluciones obtenidas para verificar su validez y relevancia para el problema real.
•Validación del Modelo: Se compara que tan fiel a la realidad es el comportamiento del modelo para asegurarse de que el modelo es una representación precisa y si el modelo no refleja adecuadamente la realidad, se realizan ajustes.
•Implementación de la Solución: La solución se lleva a cabo en la operación real de la organización ya sea realizando cambios en procesos, reasignación de recursos, reestructuración de operaciones, etc. y se monitorea el proceso para asegurar que los resultados sean los deseados.
•Seguimiento y Control: Se mantiene un seguimiento constante para mejorar la solución conforme cambian las condiciones del entorno o la organización mientras se va registrando la retroalimentación para perfeccionar el modelo.
•Comunicación de Resultados: Los resultados se comunican a los responsables mediante informes, presentaciones o reuniones para que en caso de ser necesario tomen decisiones para mejorar la operación.
Debido a la flexibilidad de las metodologías usadas en la investigación de operaciones pueden usarse en una amplia variedad de áreas y sectores donde sea necesario optimizar procesos, mejorar la toma de decisiones y gestionar recursos de manera eficiente algunos ejemplos menciono algunos campos de aplicación:
•Manufactura y Producción: La planificación de la producción en el ámbito de la manufactura es fundamental para aprovechar al máximo la producción para minimizar costos y tiempos de inactividad además de controlar los inventarios manteniendo los niveles óptimos de inventario para equilibrar el costo de almacenamiento y la disponibilidad de productos para finalmente eficientar de la cadena de suministro para mejorar la entrega de productos y reducir costos.
•Transporte y Logística: Buscar las mejores rutas para la distribución de productos, reduciendo el costo y tiempo de transporte es vital en el ámbito del transporte además de la asignación eficiente de vehículos y personal para maximizar la utilización de recursos.
•Finanzas y Economía: Debido a la volatilidad de la economía el uso de modelos probabilísticos para evaluación y control de riesgos y determinar cuales son los más viables para maximizar el retorno esperado y minimizar el riesgo son fundamentales.
•Sector Salud: Debido a la gran cantidad de pacientes la asignación de camas, personal y equipos médicos para maximizar la eficiencia en la atención a pacientes, organización del personal y mantener el control de inventarios de medicamentos y suministros médicos para evitar desabastecimientos se vuelven tareas de gran importancia.
•Telecomunicaciones: Tener un diseño optimizado gracias al análisis del tráfico de datos permite mejorar la cobertura mejorando la eficiencia de la red logrando reducir costos de operación optimizando el servicio.
•Agricultura y Recursos Naturales: La planificación de la producción agrícola para maximizar rendimientos al usar eficientemente recursos como el agua, insecticidas o abono se vuelve importante en estos tiempos de irregularidades climáticas.
La programación lineal es una rama de la optimización matemática que se enfoca en la maximización o minimización de una función objetivo lineal, sujeta a un conjunto de restricciones también lineales. Estas restricciones definen una región factible, y la solución óptima se encuentra en uno de los vértices de esta región. Los modelos de programación lineal son ampliamente utilizados en la administración, economía, ingeniería y otros campos para optimizar recursos limitados y mejorar la toma de decisiones en diversas aplicaciones prácticas.
La obtención de soluciones gráficas en dos dimensiones es un método fundamental para resolver problemas de programación lineal con dos variables. Este enfoque visual permite a los analistas e investigadores representar de manera intuitiva y gráfica las soluciones a problemas complejos.
•Definición del Problema: Un problema de programación lineal con dos variables se puede expresar de la forma general:
Maximizar o Minimizar Z= =c1x1+c2x2
sujeto a un conjunto de restricciones lineales:
a11x1+a12x2≤b1
a21x1+a22x2≤b2
x1≥0,x2≥0
Donde x1 y x2 son las variables de decisión, y c1, c2, aij y b son coeficientes constantes.
Formulación del Problema:
•Variables de Decisión: Identificar las variables involucradas en el problema.
•Función Objetivo: La función que se desea maximizar o minimizar, por ejemplo, Z=3x1+2x2.
•Restricciones: Las desigualdades o ecuaciones que limitan las opciones disponibles, como x1+x2≤4 y x1≥0
•Graficar las Restricciones: Cada restricción se representa como una línea en el plano cartesiano. Para las desigualdades, se dibujan las líneas correspondientes y se determina la región que satisface cada restricción:
•Ejes Coordenados: Primero, dibujar los ejes coordenados (x1 y x2).
•Líneas de Restricción: Graficar cada restricción como una línea recta. Por ejemplo, para x1+x2=4, se intercepta el eje x en x1=4 y el eje y en x2=4
•Sombreado de la Región Factible: Determinar el área donde todas las restricciones se satisfacen simultáneamente. Esta región es la intersección de todas las áreas sombreadas.
•Graficar la Función Objetivo: La función objetivo también se puede representar gráficamente. Para maximizar o minimizar, se utilizan líneas de nivel (líneas donde la función objetivo tiene el mismo valor). Estas líneas se desplazan paralelamente hasta encontrar el punto que optimiza la función dentro de la región factible.
•Identificación de los Vértices: La solución óptima se encuentra en uno de los vértices (puntos extremos) de la región factible. Evaluar la función objetivo en cada uno de estos vértices para determinar cuál ofrece el valor máximo o mínimo deseado.
Consideremos el problema:
Maximizar Z=3x1+2x2 sujeto a las restricciones:
x1+x2≤4
x1≥0
x2≥0
•Graficar las Líneas de Restricción:
Para x1+x2=4,, la línea corta el eje x en 4 y el eje y en 4.
Las líneas x1=0 y x2=0 son los ejes coordenados.
•Determinar la Región Factible: La región factible es el área debajo de la línea x1+x2=4 y en el primer cuadrante (x1≥0 y x2≥0).
•Graficar la Función Objetivo: Para Z=3x1+2x2, dibujar líneas de nivel como 3x1+2x2=k, donde k es una constante.
•Evaluar en los Vértices: Los vértices de la región factible son (0,0), (4,0) y (0,4). Evaluar Z en estos puntos:
En (0,0), Z=3(0)+2(0)=0
En (4,0), Z=3(4)+2(0)=12
En (0,4), Z=3(0)+2(4)=8
La solución óptima es (4,0) con un valor de Z=12.
La generalización en dimensiones se refiere a la extensión de los métodos gráficos utilizados en dos dimensiones a problemas con más de dos variables. Mientras que en dos dimensiones se pueden utilizar representaciones gráficas para encontrar soluciones óptimas, en dimensiones superiores es necesario utilizar métodos algebraicos y numéricos.
Definición del Problema en Más de Dos Dimensiones: Un problema de programación lineal en n dimensiones se puede expresar como:
Maximizar o Minimizar Z=c1x1+c2x2+…+cnxn
sujeto a un conjunto de restricciones lineales:
a11x1+a12x2+…+a1nxn≤b1
a21x1+a22x2+…+a2nxn≤b2
x1,x2,…,xn≥0
Formulación del Problema:
•Variables de Decisión: Extender el concepto de variables a n dimensiones.
•Función Objetivo: La función que se desea optimizar, representada como una combinación lineal de las variables.
•Restricciones: Expresadas en forma de desigualdades o ecuaciones lineales.
Métodos de Solución: Dado que la representación gráfica no es viable en más de dos dimensiones, se utilizan métodos algebraicos y numéricos:
•Método Simplex: Un algoritmo iterativo que puede resolver problemas de programación lineal en cualquier número de dimensiones.
•Método de los Puntos Interiores: Una técnica alternativa para resolver problemas de optimización lineal, que trabaja en el interior de la región factible.
Implementación y Solución:
•Método Simplex: Inicia con una solución básica factible y realiza iteraciones para mejorar la solución hasta alcanzar la optimalidad.
•Método de los Puntos Interiores: Utiliza una aproximación que empieza en el interior de la región factible y avanza hacia la frontera donde se encuentra la solución óptima.
Para un problema con tres variables:
Maximizar Z=4x1+3x2+2x3 sujeto a:
x1+x2+x3≤6
2x1+x2+2x3≤8
x1,x2,x3≥0
Formulación:
Las restricciones se convierten en ecuaciones de igualdades introduciendo variables de holgura.
Método Simplex:
Convertir el problema a su forma estándar y construir la tabla Simplex.
Realizar iteraciones para encontrar la solución óptima.
Método de los Puntos Interiores:
Implementar algoritmos específicos para encontrar la solución dentro del espacio factible.
El Método Simplex es un algoritmo matemático desarrollado por George Dantzig que permite encontrar la solución óptima de problemas de programación lineal. Este método es especialmente útil para problemas con múltiples variables y restricciones.
Formulación del Problema en Forma Estándar:
•Forma Estándar: Convertir el problema a una forma en la que todas las restricciones sean igualdades y todas las variables sean no negativas.
•Variables de Holgura: Introducir variables de holgura para convertir las desigualdades en igualdades.
•Función Objetivo en Forma de Maximización: Si el problema es de minimización, convertirlo a maximización.
Construcción de la Tabla Simplex:
•Inicialización: Crear la tabla Simplex con las variables básicas y no básicas.
•Base y Variables No Básicas: Identificar las variables que están en la base y las que no lo están.
•Coeficientes: Incluir los coeficientes de la función objetivo y de las restricciones.
Iteraciones del Método Simplex:
•Seleccionar la Variable Entrante: Elegir la variable que mejorará la función objetivo.
•Seleccionar la Variable Saliente: Determinar cuál variable básica será reemplazada.
•Actualizar la Tabla: Realizar los cálculos necesarios para actualizar la tabla y obtener una nueva solución básica factible.
Determinación de la Solución Óptima:
•Revisar la Tabla Final: Cuando no se pueda mejorar más la función objetivo, la solución en la tabla final es la óptima.
•Lectura de Resultados: Interpretar los valores de las variables en la solución óptima.
Maximizar Z=2x1+3x2 sujeto a:
x1+2x2≤8
3x1+2x2≤12
x1,x2≥0
Convertir a Forma Estándar:
Introducir variables de holgura:
x3 y x4 para convertir las desigualdades en igualdades.
Construcción de la Tabla Simplex:
Inicializar la tabla con las variables
x1, x2, x3, y x4.
Iteraciones:
Seleccionar las variables entrantes y salientes, y actualizar la tabla en cada iteración.
Solución Óptima:
Leer la solución óptima de la tabla Simplex final.
Degeneración: La degeneración ocurre cuando una solución básica factible tiene más de una solución básica factible que resulta en el mismo valor óptimo. Esto puede llevar a una situación en la que el Método Simplex no avanza y queda atrapado en ciclos.
Causas: Puede suceder cuando múltiples restricciones son activas en el mismo punto, causando que el número de variables básicas sea mayor de lo necesario.
Proceso de Manejo:
1. Identificación: Detectar si hay más de una solución básica factible con el mismo valor óptimo.
2. Solución: Utilizar técnicas adicionales para superar la degeneración, como el método de Bland para evitar ciclos.
Dualidad: Cada problema de programación lineal tiene un problema dual asociado. La solución del problema dual ofrece información valiosa sobre el problema primal, como los límites de la solución óptima.
Relación: La teoría de dualidad establece que la solución óptima del problema primal y el dual son interdependientes. La solución óptima del problema primal proporciona una cota para la solución óptima del problema dual y viceversa.
Proceso de Formulación:
Formular el Problema Dual: Convertir el problema primal en su problema dual. Por ejemplo, el problema primal de maximización se convierte en un problema dual de minimización.
Resolver el Problema Dual: Utilizar métodos como el Método Simplex para resolver el problema dual y comparar con la solución del problema primal.
Ejemplo Detallado:
Para el problema primal: Maximizar Z=3x1+2x2 sujeto a:
x1+x2≤4
x1≥0
x2≥0
El problema dual sería: Minimizar W=4y1 sujeto a:
y1≥3 (coeficiente de x1)
y1≥2 (coeficiente de x2)
La resolución manual de problemas de programación lineal implica la aplicación directa de técnicas algebraicas y gráficas para encontrar la solución óptima. A continuación, se presentan ejemplos resueltos manualmente.
Ejemplo 1:
Maximizar Z=5x1+4x2 sujeto a:
2x1+3x2≤12
x1+x2≤6
x1,x2≥0
1. Graficar las Restricciones:
2x1+3x2=12 corta los ejes en (6,0) y (0,4).
x1+x2=6 corta los ejes en (6,0) y (0,6).
2. Determinar la Región Factible: La intersección de las áreas sombreadas bajo estas líneas en el primer cuadrante.
3. Evaluar la Función Objetivo: Evaluar Z en los vértices de la región factible.
Ejemplo 2:
Minimizar C=3x1+2x2 sujeto a:
4x1+x2≥8
x1+2x2≥6
x1,x2≥0
1. Convertir a Forma Estándar:
Introducir variables de exceso para convertir las desigualdades en igualdades.
2. Construcción de la Tabla Simplex:
Inicializar la tabla Simplex con las variables de exceso.
3. Iteraciones:
Aplicar el Método Simplex para encontrar la solución óptima.
La interpretación de los resultados obtenidos de un problema de programación lineal es crucial para aplicar las soluciones de manera efectiva en contextos prácticos. Implica analizar la viabilidad y relevancia de los resultados.
1. Revisión de la Solución Óptima:
•Soluciones Básicas: Examinar los valores de las variables básicas y no básicas en la solución óptima.
•Valor de la Función Objetivo: Determinar el valor máximo o mínimo alcanzado y su implicación en el contexto del problema.
2. Validación de Restricciones:
•Asegurarse de que todas las restricciones del problema se satisfagan con la solución óptima encontrada.
•Revisar cada restricción para confirmar que se cumple la igualdad o desigualdad en la solución.
3. Contextualización y Aplicación:
•Contexto del Problema: Relacionar la solución óptima con el contexto del problema original y evaluar su aplicabilidad.
•Implicaciones Prácticas: Analizar cómo la solución puede impactar en la toma de decisiones y en la implementación práctica.
Ejemplo Detallado:
Para el problema de maximización: Maximizar Z=3x1+2x2 sujeto a:
x1+x2≤4
x1≥0
x2≥0
Con solución óptima en (4,0):
•Valor Óptimo de Z: Z=3(4)+2(0)=12
•Interpretación: Para maximizar el valor de Z, se debe asignar 4 unidades a x1 y ninguna a x2. Esta solución cumple con todas las restricciones del problema.
Los modelos de transporte son una categoría especial de problemas de optimización en programación lineal que se utilizan para determinar la forma más eficiente de transportar bienes desde un conjunto de orígenes hasta un conjunto de destinos, minimizando el costo total. Estos modelos son ampliamente utilizados en logística, distribución y gestión de la cadena de suministro.
Definición General: El problema de transporte se puede formular como un problema de programación lineal en el que se busca minimizar el costo total de transporte, dado un conjunto de suministros y demandas.
Formulación del Problema:
1. Variables de Decisión: xij representa la cantidad de bienes transportados desde el origen i hasta el destino j.
2. Función Objetivo: Minimizar el costo total, que puede expresarse como: Minimizar Z=i∑j∑cijxij donde cij es el costo de transporte por unidad desde el origen i al destino j.
3. Restricciones:
Restricciones de Suministro: La cantidad total enviada desde cada origen no debe exceder el suministro disponible:
∑xij≤Sipara cada i
Restricciones de Demanda: La cantidad total recibida en cada destino debe satisfacer la demanda:
i∑xij≥Djpara cada j
Restricciones de No Negatividad: xij≥0.
El problema general de transporte involucra la distribución eficiente de un producto desde varios proveedores (orígenes) hasta varios consumidores (destinos), minimizando los costos de transporte. Este problema se puede representar matemáticamente y resolver utilizando métodos de programación lineal.
1. Formulación del Problema:
•Suministro y Demanda: Identificar los suministros disponibles en cada origen y las demandas requeridas en cada destino.
•Costos de Transporte: Definir los costos asociados con el transporte entre cada par de origen y destino.
2. Representación Matricial: El problema de transporte se suele representar utilizando matrices para los costos de transporte, suministros y demandas:
•Matriz de Costos: C donde cij es el costo de enviar una unidad de i a j.
•Vector de Suministro: S donde Si es el suministro disponible en el origen i.
•Vector de Demanda: D donde Dj es la demanda en el destino j.
3. Condiciones de Balance:
•Balanceado: Si la suma total de suministros es igual a la suma total de demandas, el problema se llama balanceado.
•No Balanceado: Si los suministros no coinciden con las demandas, se debe agregar una variable ficticia (escapatoria) para equilibrar el problema.
4. Solución:
•Métodos Matemáticos: Utilizar algoritmos específicos para resolver el problema, como el Método de Transporte o el Método de Programación Lineal.
Ejemplo Detallado:
Supongamos que tenemos dos orígenes (O1 y O2) y tres destinos (D1, D2, D3). Los suministros y demandas son los siguientes:
•Suministros: O1 = 30, O2 = 40:
•Demandas: D1 = 20, D2 = 30, D3 = 20:
Matriz de Costos:
D1 D2 D3
O1 8 6 10
O2 9 12 13
Restricciones de Suministro y Demanda:
j∑x2j≤40:
i∑xi1≥20:
i∑xi2≥30:
i∑xi3≥20:
Método del Cruce de Arroyo
Existen varios métodos para resolver problemas de transporte, entre los cuales se incluyen el Método de la Esquina Noroeste, el Método de Costo Mínimo y el Método del Cruce de Arroyo (también conocido como Método de Aproximación de la Esquina Noroeste Mejorada). A continuación, se detalla el Método del Cruce de Arroyo.
1. Método de la Esquina Noroeste:
Asigna la cantidad máxima posible desde la esquina noroeste de la matriz de costos y se mueve hacia el sur o hacia el este.
•Ventajas: Simple de implementar.
•Desventajas: No garantiza la solución óptima.
2. Método de Costo Mínimo:
Asigna la cantidad máxima posible a las celdas con el costo más bajo.
•Ventajas: Puede llevar a una mejor solución inicial que el Método de la Esquina Noroeste.
•Desventajas: Aún no garantiza la optimalidad.
3. Método del Cruce de Arroyo (Método de Aproximación Mejorada):
Es un método iterativo que mejora la solución inicial asignada por el Método de la Esquina Noroeste o el Método de Costo Mínimo. Utiliza una tabla de costos y realiza intercambios para optimizar la solución.
•Procedimiento:
1. Inicialización: Comienza con una solución factible inicial (por ejemplo, usando el Método de la Esquina Noroeste).
2. Optimización: Identificar mejoras posibles intercambiando cantidades entre celdas no básicas y básicas, basándose en el costo de transporte y en la regla de cruce.
3.Iteraciones: Repetir el proceso hasta que no se pueda mejorar más la solución.
Ejemplo Detallado:
Supongamos una matriz de costos y suministros/demandas.
Inicialmente aplicamos el Método de la Esquina Noroeste para obtener una solución factible. Luego, aplicamos el Método del Cruce de Arroyo para iterar y mejorar la solución. Evaluamos cada iteración para reducir los costos y ajustamos las cantidades hasta alcanzar la solución óptima.
La obtención de la solución óptima en un problema de transporte implica encontrar la asignación de cantidades que minimice el costo total de transporte, cumpliendo con todas las restricciones de suministro y demanda.
1. Método de Transporte:
•Método de Optimización: Tras obtener una solución inicial factible (mediante cualquiera de los métodos mencionados), se aplica un método de optimización como el Método del Cruce de Arroyo o el Método de Modificaciones de la Esquina Noroeste para encontrar la solución óptima.
2. Método de la Modificación del Costo (Método de la Ruta Mejorada):
Se basa en la mejora continua de la solución inicial moviendo cantidades a lo largo de rutas que reducen el costo total.
•Procedimiento:
1. Identificación de Rutas: Determinar las rutas que pueden reducir el costo total.
2. Modificación de Asignaciones: Ajustar las asignaciones de acuerdo con las rutas identificadas.
3. Evaluación:Repetir el proceso hasta no encontrar más mejoras.
3. Verificación de la Solución Óptima:
•Revisión: Confirmar que la solución cumple con todas las restricciones de suministro y demanda.
•Cálculo del Costo Total: Evaluar el costo total con la solución encontrada para asegurar que sea el mínimo posible.
Ejemplo Detallado:
Para la matriz de costos y suministros/demandas previamente establecidas, se resuelve el problema utilizando el Método del Cruce de Arroyo:
•Inicialmente, asignamos cantidades basadas en la solución factible.
•Aplicamos el método para identificar y mejorar las rutas que minimizan el costo.
•Finalmente, calculamos el costo total y verificamos la optimalidad de la solución.
El modelo de asignación es una técnica de optimización utilizada en la investigación de operaciones para resolver problemas en los que se deben asignar recursos a tareas de manera óptima, con el objetivo de minimizar costos o maximizar beneficios.
El modelo de asignación es una técnica usada en situaciones en las que se tiene “n” cantidad de recursos y “n” cantidad de tareas en las cuales se deben asignar los recursos a las tareas de tal forma que se aprovechen de la forma más óptima (donde los agentes u objetos por asignar son indivisibles, en el sentido de que ningún agente puede dividirse entre varias tareas).
Para la formulación del modelo se debe tener en cuenta que tenemos n recursos, n tareas y la matriz de costos C tiene elementos Cij, que representan el costo de asignar el recurso i a la tarea j. Además de contemplar una variable binaria (X) que indicará si el recurso i es asignado a la tarea j .
Al final se busca minimizar el costo total o maximizar el beneficio total de la asignación dando como resultado:
Donde cij es el costo de asignar el recurso i a la tarea j.
En esta fórmula se debe considerar dos principales restricciones:
min∑ i ∑ j c ij x ij
Cada recurso debe ser asignado a exactamente una tarea:
∑ j x ij =1∀i
Cada tarea debe ser realizada por exactamente un recurso:
∑ j x ij =1∀j
Para usar apropiadamente el modelo de asignación es importante seguir 3 puntos principales desde el inicio:
Reconocer los recursos disponibles: Identificar los recursos que pueden ser asignados (trabajadores, máquinas, vehículos, etc).
Reconocer las tareas: Identificar las tareas (o proyectos) que requieren asignación de recursos.
Realizar la matriz de costos/beneficios: Determinar los costos o beneficios asociados a la asignación de cada recurso a cada tarea.
El problema de asignación puede resolverse de manera eficiente utilizando el Algoritmo Húngaro, desarrollado por Harold Kuhn. Este algoritmo tiene una complejidad polinomial y es ampliamente utilizado debido a su eficiencia, el cual consta de cinco principales pasos:
Paso 1: Reducción de la Matriz
Reducción de filas: Para cada fila de la matriz de costos, resta el valor mínimo de esa fila a todos los elementos de la fila.
Reducción de columnas: Para cada columna de la matriz de costos resultante, resta el valor mínimo de esa columna a todos los elementos de la columna.
Paso 2: Cobertura de Zeros
Cubre todos los ceros de la matriz reducida utilizando un número mínimo de líneas horizontales y verticales.Si se necesitan exactamente n líneas para cubrir todos los ceros, la solución óptima se puede encontrar entre los ceros no cubiertos. Si se necesitan menos de n líneas, continúa al Paso 3.Paso 3: Ajuste de la Matriz
Encuentra el valor mínimo k de los elementos no cubiertos.
Resta k de todos los elementos no cubiertos y suma k a los elementos cubiertos dos veces (en la intersección de las líneas).
Paso 4: Repetir
Regresa al Paso 2 y repite el proceso hasta que todos los ceros puedan ser cubiertos con exactamente n líneas.
Paso 5: Asignación Óptima
Una vez que todos los ceros están cubiertos con exactamente n líneas, se selecciona un conjunto de ceros independientes (uno por fila y uno por columna) que representa la asignación óptima.
Asignación de Trabajadores a Tareas: Determinar qué trabajador debe realizar qué tarea para minimizar el tiempo total de trabajo o el costo.
Asignación de Maquinaria: Asignar máquinas a diferentes procesos de producción para optimizar el uso de recursos.
Asignación de Vuelos a Puertas de Embarque: En aeropuertos, asignar vuelos a puertas de embarque para minimizar tiempos de espera y congestión.
Asignación de Vehículos a Rutas: Asignar vehículos a diferentes rutas de transporte para minimizar costos de operación.
El primer paso antes de comenzar a desarrollar un proyecto los encargados tienen la tarea de planificar y programar tareas o trabajos distintos, realizados por diferentes individuos o departamentos. A menudo, estos proyectos son tan extensos o complejos que el encargado no puede recordar toda la información relevante por lo que el uso de técnicas de revisión y evaluación de programas (PERT) y el método de ruta crítica (CPM) han resultado ser sumamente útiles.
El uso de las PERT y el CPM pueden utilizarse para planear, programar y controlar varios proyectos, desde investigación hasta construcciones y en todos se debe seguir cierto cronograma de actividades para garantizar el éxito de dicho proyecto por lo que se deben realizar varias preguntas para tener una clara visión al momento de la planificación, las principales preguntas son:
¿Cuál es el tiempo total para completar el proyecto?
¿Cuáles son las fechas de inicio y terminación programadas de cada actividad específica?
¿Cuáles actividades son “críticas”?
¿Qué tanto se pueden demorar las actividades “no críticas”?
El método de la ruta crítica busca determinar el tiempo de inicio más temprano y el tiempo de inicio más tardío de todas las actividades que componen una red de proyecto la cual no es nada más que ordenar las tareas a realizar en un mapa en donde cada tarea es un nodo y se ordenan según su dependencia. Los pasos para realizar correctamente el procedimiento de ruta crítica PERT/CPM son:
Paso 1. Elaborar una lista de las actividades que conforman el proyecto.
Paso 2. Determine la(s) predecesora(s) inmediata(s) de cada actividad en el proyecto.
Paso 3. Calcular el tiempo de terminación de cada actividad.
Paso 4. Trace una red del proyecto que ilustre las actividades y las predecesoras inmediatas mencionadas en los pasos 1 y 2.
Paso 5. Utilice la red del proyecto y las estimaciones de los tiempos de actividad para determinar los tiempos de inicio y terminación más tempranos de cada actividad avanzando un paso a través de la red. El tiempo de terminación más temprano de la última actividad del proyecto identifica el tiempo total requerido para terminarlo.
Paso 6. Utilice el tiempo de terminación del proyecto en el paso 5 como el tiempo de terminación más tardío de la última actividad, y retroceda un paso a través de la red para identificar los tiempos de inicio y terminación más tardíos de cada actividad.
Paso 7. Utilice la diferencia entre el tiempo de inicio más tardío y el tiempo de inicio más temprano de cada actividad para determinar su holgura.
Paso 8. Determine las actividades con holgura cero; éstas son las actividades críticas.
Paso 9. Utilice la información de los pasos 5 y 6 para desarrollar el programa de actividades del proyecto.
Durante la realización de un proyecto es optimizar el tiempo de las actividades por lo que reducir lo máximo posible se ha definido como compresión, actividad que debe basarse en los siguientes puntos:
•Costo de la actividad en el tiempo de actividad normal o esperado
•Tiempo para completar la actividad con compresión máxima (es decir, el tiempo de actividad más corto posible)
•Costo de la actividad con compresión máxima
Teniendo en cuenta los puntos anteriores para poder encontrar el punto máximo de compresión sería:
Las variables anteriores se usan de la siguiente forma en la fórmula:
Una vez obtenido el tiempo de reducción máximo y contemplando también el costo de la actividad (Ci) podemos obtener el costo de compresión de la siguiente forma:
La teoría de inventarios es una rama de la investigación de operaciones que se ocupa del diseño y gestión de sistemas de inventario. Su objetivo principal es determinar las políticas óptimas de pedido y almacenamiento de productos para minimizar los costos asociados, como costos de pedido, costos de mantenimiento y costos de escasez, mientras se asegura que los niveles de servicio deseados se mantengan.
Las aplicaciones de la teoría de inventarios es sumamente amplia donde podemos destacar algunos ejemplos como:
•Manufactura: Gestión de materias primas, productos en proceso y productos terminados.
•Distribución: Optimización de los niveles de inventario en centros de distribución y almacenes.
•Minoristas: Gestión de inventarios en tiendas para minimizar costos y maximizar la disponibilidad de productos.
•Salud: Gestión de suministros médicos y farmacéuticos en hospitales y clínicas.
Debido al uso extendido de los inventarios desde los pequeños comerciantes hasta las grande empresas hay una gran variedad de problemas que han surgido entre los cuales podemos encontrar:
•Faltantes de Inventario: Negocios que no realizan reabastecimiento con suficiente anticipación, resultando en la falta de disponibilidad de artículos para los clientes.
•Altos Costos de Almacenamiento: El almacenamiento de inventarios incurre en costos elevados, que pueden representar hasta un cuarto del valor del inventario.
•Manejo Ineficiente de Inventarios: Las empresas que no administran sus inventarios de manera eficiente pueden enfrentar problemas de competitividad debido a inventarios innecesariamente grandes.
•Necesidad de Optimización: Los negocios necesitan mejorar la planeación y programación de sus inventarios, como se ejemplifica con los sistemas de inventarios justo a tiempo implementados por algunas compañías japonesas para reducir los niveles de inventario a un mínimo.
•Innovación y Mejora Continua: La necesidad de aplicar técnicas de investigación de operaciones y administración científica de inventarios para renovar y mejorar la manera en que se manejan los inventarios, logrando así una ventaja competitiva.
En la gestión de inventarios, es crucial distinguir entre las variables controlables y no controlables, ya que estas influyen en la toma de decisiones y en la rentabilidad de la empresa. Las políticas de inventarios afectan directamente las ganancias y la eficiencia operativa, por lo que una adecuada administración puede significar la diferencia entre el éxito y el fracaso en el mercado. A continuación, se detallan las variables controlables y no controlables basadas en el texto proporcionado:
Variables controlables:
•Costo de ordenar o fabricar: Este se refiere a los gastos asociados con la adquisición o producción de inventarios. Las empresas pueden controlar estos costos optimizando la cantidad de productos ordenados o fabricados y gestionando eficientemente los costos fijos y unitarios involucrados.
•Costo de mantener el inventario: Este costo incluye el almacenamiento, seguros, protección y capital invertido en los inventarios. Las empresas pueden influir en estos costos a través de una mejor planificación del espacio de almacenamiento y la gestión del capital invertido.
•Costo por faltantes: Estos costos surgen cuando la demanda excede el inventario disponible. A través de políticas de reabastecimiento adecuadas, las empresas pueden minimizar los faltantes y los costos asociados, como la pérdida de clientes y los costos administrativos adicionales.
•Ingresos: Aunque a veces no se incluyen directamente en los modelos de inventarios, las estrategias de ventas y marketing pueden influir en los ingresos, y las empresas pueden gestionarlas para maximizar la rentabilidad.
•Valor de rescate o salvamento: Este valor representa el valor de los artículos sobrantes cuando ya no se necesitan. Las empresas pueden decidir vender los excedentes o eliminar el inventario sobrante de manera óptima.
•Tasa de descuento: Esta variable toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo. Las decisiones financieras sobre inversiones y su retorno pueden ser gestionadas para optimizar el uso del capital.
Variables no controlables:
•Demanda del producto: La demanda puede ser determinística o aleatoria y está influenciada por factores externos como las condiciones del mercado y la competencia, lo cual está fuera del control directo de la empresa.
•Tiempo de entrega: El tiempo que transcurre desde que se coloca una orden hasta que se recibe el inventario puede ser fijo o variable, y generalmente depende del proveedor o del proceso de producción.
•Fluctuaciones de precios en el mercado: Los precios de los materiales o productos pueden variar debido a factores externos, lo cual está fuera del control de la empresa.
•Factores económicos y regulatorios: Los impuestos, regulaciones y condiciones económicas generales afectan los costos de operación y almacenamiento y están fuera del control directo de la empresa.
Condiciones del mercado y la competencia: Las acciones de los competidores y las tendencias del mercado influyen en la demanda y la capacidad de reabastecimiento, factores que las empresas no pueden controlar directamente.Los modelos probabilísticos de inventarios se utilizan cuando la demanda de los productos no es determinística, es decir, cuando la demanda es incierta y puede variar en cada periodo. Estos modelos incorporan la incertidumbre y las distribuciones de probabilidad para prever la demanda futura y optimizar las decisiones de inventario. Estos modelos se caracterizan por:
•Demanda Variable: La demanda se trata como una variable aleatoria con una distribución de probabilidad conocida.
•Tiempo de Reabastecimiento: Puede ser fijo o variable, afectando la cantidad de seguridad necesaria.
•Punto de Reorden: Se determina en función de la demanda esperada durante el tiempo de reabastecimiento más un inventario de seguridad.
Inventario de Seguridad: Se mantiene para cubrir la variabilidad en la demanda y evitar faltantes.
Los ejemplos comunes de un modelo probabilístico son:
Modelo de Revisión Continua (Q, R): Se coloca un pedido fijo 𝑄 cuando el nivel de inventario cae a un punto de reorden 𝑅.
Modelo de Revisión Periódica (P, s, S): Se revisa el inventario a intervalos regulares 𝑃 y se coloca un pedido para llevar el inventario al nivel 𝑆 si cae por debajo de 𝑠.
Modelos Selectivos
Los modelos selectivos de inventarios se centran en clasificar y gestionar los inventarios de acuerdo con su importancia y características específicas. Un enfoque común dentro de los modelos selectivos es el análisis ABC y este se caracteriza por:
•Clasificación de Inventarios: Los productos se clasifican en diferentes categorías según criterios como el valor, la demanda, o la criticidad.
•Diferentes Políticas de Inventario: Cada categoría puede gestionarse con una política de inventario diferente para optimizar los recursos y esfuerzos.
Un ejemplo del uso del análisis ABC es dividir los productos en 3 categorias (A, B y C) donde cada una tiene características claras como:
Clase A: Artículos de alto valor con baja frecuencia de demanda. Requieren una gestión estrecha y revisiones frecuentes.
Clase B: Artículos de valor moderado y frecuencia de demanda intermedia. Requieren una gestión equilibrada.
Clase C: Artículos de bajo valor con alta frecuencia de demanda. Pueden gestionarse con menos atención y revisiones menos frecuentes.
Los niveles óptimos de inventario se determinan mediante un análisis que incluye varios factores de costo y demanda, utilizando técnicas cuantitativas para minimizar el costo total esperado y maximizar el ingreso neto, algunas de estas técnicas son:
•Costos de ordenar o fabricar: La cantidad óptima a ordenar o producir se calcula considerando los costos asociados, tanto fijos como variables.
•Costos de mantener el inventario: Los niveles óptimos de inventario también se determinan considerando los costos de almacenamiento, que incluyen costos de capital, espacio, seguros, protección e impuestos.
•Costos por faltantes: Es importante considerar los costos de demanda insatisfecha, que pueden incluir la pérdida de ingresos, pérdida de clientes, costos administrativos adicionales y costos de retraso en el proceso de producción.
•Ingresos y costos de recuperación: Los ingresos y los costos de recuperación (o valor de rescate) también se consideran en la determinación de los niveles óptimos de inventario.
•Tasa de descuento: La tasa de descuento toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo y se utiliza para calcular el valor presente neto de los costos y beneficios futuros.
•Demanda y tiempo de entrega: La demanda del producto y el tiempo de entrega también son factores críticos para determinar los niveles óptimos de inventario. Pueden ser determinísticos (conocidos y constantes) o estocásticos (variables y con una distribución de probabilidad).
Estas políticas son fundamentales para una gestión eficiente de inventarios, ya que permiten a las empresas equilibrar costos y satisfacer la demanda de manera efectiva.
•Política de ordenar o fabricar: Esta política se refiere como se debe considerar los costos fijos y variables asociados cuando se toman a las decisiones sobre cuánto inventario ordenar o producir.
•Política de mantener inventario: Esta política aborda la gestión de los costos asociados con el almacenamiento de inventarios, incluyendo costos de capital, espacio, seguros, protección e impuestos.
•Política de faltantes: Trata sobre cómo gestionar los costos y las consecuencias de la demanda insatisfecha, ya sea mediante la minimización de faltantes o la gestión eficiente de los retrasos en el reabastecimiento.
•Política de reabastecimiento justo a tiempo: Esta política se enfoca en la planeación y programación para que los materiales necesarios lleguen justo a tiempo para su uso, minimizando así los niveles de inventario.
•Política de revisión continua o periódica: Esta política menciona que deben usarse métodos para monitorear los niveles de inventario. En la revisión continua, se hace un pedido en el momento en que el inventario baja del punto de reorden especificado. En la revisión periódica, el nivel de inventario se verifica en intervalos discretos y se toman decisiones de ordenamiento en esos momentos.
Para organizar eficientemente un inventario físico se deben considerar tanto los aspectos económicos como operativos del manejo de inventarios los cuales son:
•Identificar costos asociados: Determinar costos de ordenar o fabricar y evaluar costos de mantener o almacenar inventarios además de estimar costos por faltantes o demanda insatisfecha.
•Establecer políticas de inventario: Definir políticas de revisión continua o periódica e implementar sistemas de inventario justo a tiempo para reducir niveles de inventario.
•Planificación de pedidos: Realizar pedidos de reabastecimiento con suficiente anticipación para evitar faltantes y evaluar la cantidad óptima de pedido considerando costos fijos y variables.
•Evaluación de demanda: Analizar si la demanda es determinística o estocástica para ajustar políticas de inventario en función de la variabilidad de la demanda.
•Gestión de tiempo de entrega: Considerar el tiempo de entrega en la planificación del reabastecimiento para minimizar interrupciones en la producción o ventas.
•Minimización de costos de mantenimiento: Reducir los costos asociados con el almacenamiento del inventario optimizando el uso del espacio de almacenamiento para maximizar la eficiencia.
•Gestión de faltantes y excesos: Implementar políticas para gestionar faltantes, como envíos prioritarios o penalizaciones por demandas no satisfechas. Se debe determinar el valor de rescate o salvamento de productos sobrantes para minimizar pérdidas.
•Análisis de costos y beneficios: Evaluar la rentabilidad relativa de diferentes políticas de inventario se deben incluir factores como ingresos, costos de recuperación y tasas de descuento en el análisis.
•Simplicidad y comprensión: Diseñar políticas de inventario que sean sencillas de entender e implementar asegurándose de que las reglas para ordenar y mantener inventarios sean claras y prácticas.
•Uso de técnicas cuantitativas: Aplicar técnicas de investigación de operaciones para buscar políticas óptimas de inventarios.
Los problemas comunes relacionados con las prácticas de inventarios incluyen:
•Faltantes de Inventario: Muchas empresas no logran reabastecer sus inventarios con la suficiente anticipación lo que termina resultando en la pérdida de ventas y clientes insatisfechos.
•Costos Elevados de Almacenamiento: Mantener inventarios innecesariamente grandes puede aumentar significativamente los costos de almacenamiento.
•Ineficiencia en la Planificación y Programación: Empresas que no aplican técnicas avanzadas de administración científica de inventarios, como los sistemas "justo a tiempo", lo que podría ayudar a minimizar los niveles de inventario y reducir los costos.
•Exceso de Inventario: Las empresas que no gestionan eficientemente sus niveles de inventario pueden encontrarse con un exceso de productos almacenados que no se mueven rápidamente, lo que lleva a costos adicionales y potenciales pérdidas si los productos se deprecian o se vuelven obsoletos.
•Problemas con el Inventario Físico: La falta de un control físico adecuado del inventario puede llevar a discrepancias entre los registros y la realidad, lo que complica la planificación y el control del inventario.